塔斯基對於「真理」的定義及其意義
作者：張祥龍
文章來源：中國現象學網
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波蘭數學家、邏輯學家塔斯基（Alfred Tarski, 1902— ）1933年在《形式化語言中的真理概念》一文中提出了一個對於「真理」（Truth）的語義學定義。它深刻地影響了當時的邏輯經驗主義和後來的分析哲學的意義理論，並且導致理論語義學的正式建立。本文試圖簡單地評介建立這個定義的前因、方式及其後果。
一． 為何要從語義角度定義「真理」
一般說來，語義學（semantics）是研究語言的表達式與這些表達式所涉及的對象（或事態）之的關係的學科。典型的語義概念是「指稱」、「滿足」、「定義」等等。「真理」這個概念的涵義是極其豐富而且多層次的，歷史上對於它的討論和定義無論從學科角度還是從思想流派的角度看，都是很多樣的。但是，如果把它放到語言學系統中來討論，那麼將它作為一個語義學的概念，即作為某些語言表達式（比如陳述句）與其所談及的對象之間的關係來處理，確實不失為一種簡便自然而且容易精確化的討論方法。
然而，語義概念在學術史上的地位一直是不明確的或者說是很奇特的。一方面，這些概念深植於人們的語言活動中，要完整地表達思想尤其是有關認識論、方法論的觀點，它們是必不可少的；另一方面，幾乎所有要以普遍的和充分的方式來刻劃它們的意義的努力都失敗了。更糟糕的是，包含這些語義概念的論證，不管它們在別的情況下顯得如何正確，卻可能導致反論或悖論，比如說謊者悖論，因而使得許多人，包括早期邏輯經驗主義的代表人物對它們極不信任，認為要前後一致地使用和定義它們是不可能的，在嚴格的科學中應該禁用這類概念。
羅素1902年發現的關於集合的悖論不但導致了所謂數學基礎的危機，而且引起了人們對於各種悖論的極大興趣。羅素的工作表明，悖論並不是表達方式上的故弄玄虛，通過發現和解決悖論，可以更深刻地認識語言和各種表達系統的邏輯基礎，甚至會促使一門新的科學或理論的建立。「應該強調指出，悖論對於建立現代演繹科學的基礎起到了傑出的作用。正如類的理論方面的悖論、特別是羅素悖論（所有非自身分子的集的集的悖論）是在邏輯和數學的不矛盾形式化方面成功嘗試的起點一樣，說謊者悖論和其他語義悖論導致了理論語義學的建立。」[i]
從另一個角度看，演繹科學本身的發展也提出了類似的要求。首先，是形式化公理方法的建立。歐幾里德的《幾何原本》可說是一個實質公理系統的例子，這一類公理系統的公理一般是表述某一類已事先給定的對象的直觀自明的性質。但是，由於非歐幾何的發現並且在歐氏幾何中找到了它的模型，也就是說使它的真理性建立在了歐氏幾何的真理性之上，使人們認識到對於空間特性的刻劃可以有形式不同但具有真值聯繫的多個表達系統。[ii]
另外，數理邏輯的建立使形式邏輯具有了某種意義上的「自身的規定性」（黑格爾常常批評舊形式邏輯缺少這種規定性）或一套自足的語法系統，邏輯推理不再僅僅是輸送外來內容和真值的毫無本身意義的空洞框架；每個語句的真值都有著本系統內的根據甚至某種判定方法，並且出現了屬於該系統本身的重要問題——一致性、完全性、公理的獨立性等等，而這些問題都與形式化語言中的真理（或真值）問題密切相關。
由於一開始對形式化公理系統的特性還認識不足，尤其是因為囿於休謨數學觀的框框，對於演繹科學真理性的回答首先是形式主義的而不是語義學的。維特根斯坦僅僅依據命題演算的某些形式特點而認為所有的邏輯規則都是重言式，[iii] 其真理性在於它們是嚴格的同語反覆，窮盡了一切可能，實際上「什麼也沒有說」。[iv] 這一片面看法極大地影響了早期邏輯經驗主義的代表人物，如石裡克、卡爾納普。在數學界，這種傾向也體現在希爾伯特為代表的形式主義學派中，並隨後導致了重大轉變。為了在數學領域中完全消除產生悖論的根源，希爾伯特提出了著名的「希爾伯特方案」或證明論，即要將數學公理系統相對相容性（一致性）的證明（比如證明非歐幾何相對於歐氏幾何、歐氏幾何相對於實數論、實數論相對於自然數論的相容性）變為絕對或直接相容性的證明；在這種把握「絕對」的證明活動中無法再利用任何一種還需要解釋的推演工具，因此證明論中數學或邏輯公理系統的基本概念都應是無意義可言的符號，公理是這些符號的機械組合，無所謂真假，數學相容性的證明變為不需要內容的純形式符號的推導，完全可以按一個機械的模式在有窮步內進行和完成。但是，在這個富於啟發力的方案指導下工作的哥德爾，卻發現了所有能包括形式數論在內的系統如果是相容的，則是不完全的，即總可以在它們中找到一個語義上真的句子，它和它的否定在本系統內都不可證；因此這類系統的相容性在本系統內是不可證的。而要去證明這一類系統相容性的元理論必不能比這些對像理論更簡單，而是更強更複雜也就更「靠不住」。所以在純形式的和有窮方法的前提下，數學系統絕對相容性的證明是不可能的。
塔斯基就是在這樣的背景下（與哥德爾幾乎同時）從理論語義學或邏輯語義學角度回答了演繹科學基礎研究中提出的這樣一些問題。哥德爾不完全性定理發表於1931年，塔斯基關於真理定義的主要思想於1929年已完成，並於1930年在波蘭做了學術演講。《形式化語言中的真理概念》這篇論文於1931年3月由盧卡西維茲送交華沙的科學學會，但由於外部原因使出版拖到1933年，這也使得塔斯基可以借鑒哥德爾的成果並對這篇論文做了部分補充和修改。[v]
二.怎樣定義語義的「真」
1.悖論與語言層次
從邊沁（1748-1832）起，不再將詞而是將句子作為意義的基本單位。弗雷格則認為一個句子的意義就在於它的真值條件或成真條件；正因為如此，句子和組成它的詞才有了可傳達的客觀意義，而不僅僅是洛克等人所講的帶有主觀經驗色彩的「觀念」。塔斯基為了避免心理因素的影響和表達歧義，就將他的真理定義的對象規定為語言系統中的語句，更嚴格地說，是陳述句。
他以亞里士多德的真理定義為討論起點。「我們希望我們的定義與經典的亞里士多德的真理概念所包含的直覺盡可能地相似——即在亞里士多德《形而上學》一書裡這段著名的話中所表達的直覺：『將所是的[或所存在的]說成不是的[或不存在的]，或將所不是的說成是的，是假的；而將所是的說成是的，或所不是的說成不是的，是真的。』」[vi] 根據這個定義，「雪是白的」這個語句的真值條件就是：如果雪是白的，此語句就是真的；如果雪不是白的，此語句就是假的。因而下面這個等式成立：
語句「雪是白的」是真的，當且僅當，雪是白的。
將它一般化，即得到一個（T）等式：
（T） X是真的，當且僅當，P。
在此式中，P代表「真的」這個詞所涉及的語言中的任何一個語句，X則代表這個語句的名稱。
但是，塔斯基認為亞氏的這個定義儘管在直覺上是對的，但是它的表達形式有嚴重問題。我們可以在不違反其形式的前提下構造一個類似說謊者悖論的語言：
印在本頁這一行上的這個語句是不真的。
當我們問「這句話是真還是假」時，矛盾就出現了；因為從其肯定可以得出其否定，從其否定又可得其肯定，因此它是一個悖論。
經過分析，塔斯基認為毛病出在可以構造出這類語句的語言系統上。這類語言系統不但包含了它的表達式，而且包含了這些表達式的名稱和象「真的」這樣的語義學詞項，尤其是它能夠不受限制地把這樣的語義學詞項用於其中的任何一個語句；簡言之，這樣的語言系統具有在內部斷定自己語句的真值的能力，塔斯基稱之為「語義上封閉的語言」。自然語言也屬於這種語言。
因此，為了保證語義概念在使用中的一致性，去掉產生悖論的根源，在討論真理定義或任何語義學問題時，必須禁用這類語義上封閉的語言，而用不同功能的兩種語言來代替：第一種是被談及的作為討論對象的語言，稱為對像語言，第二種是談及第一種語言的語言，稱為元語言。我們就是用元語言來為對像語言構造「真語句」的定義。元語言中不但要有對象語言的所有表達式的名稱，而且還有對象語言所沒有的語義學的詞項，所以元語言比對像語言從本質上更豐富，也可以說，元語言中包含有更高邏輯類型的變項。因而對像語言可以在元語言中得到解釋，但元語言不能在對像語言中得到解釋。塔斯基已證明，這樣一種「本質上的[更]豐富性」對於構造滿意的真理定義是一個必要而且充分的條件。[vii] 元語言可以分為兩種：句法（syntax）元語言和語義元語方。只談及對像語言的語言表達式的元語言稱為句法元語言，比如一般邏輯教科書上談到某個演繹系統的語法部分（原始符號、形成規則、變形規則等等）的語言；不僅涉及對像語言的語言表達式，而且談及這些表達式所涉及的對象的元語言稱為語義元語言，比如談到某個演繹系統的語義部分（真假、可滿足、普遍有效等等）的語言。[viii] 作為構造這樣兩種語言的兩個著名例子，我們可以舉出卡爾納普的《語言的邏輯句法》（1934年）和塔斯基的《形式化語言中的真理概念》（1933年）。
2.真理定義所要求滿足的條件——形式上正確、實質上充分
塔斯基認為，為了保證定義在形式上的正確，除了區分對像語言和元語言之外，還必須說明這兩種語言的結構，即將這兩種語言都形式化和公理化，保證其中每一個表達式的意義從其形式上就可以被唯一地確定。所以，塔斯基認為要在自然語言中正確地定義真理是不可能的。
對於元語言還需多做一些說明：元語言的基本詞項除了一般的邏輯詞項和與對像語言的詞項意義相同的詞項之外，還要有從形式結構上描述對像語言的所有表達式及其關係的詞項，以使我們有能力在任何情況下為對像語言的任一個表達式構造元語言的名稱。自然，元語言的公理也要相應地反映出這三類詞項的性質。此外塔斯基對於元語言還有另一個更帶有哲學含義的要求，即「（涉及對像語言的）語義學詞項只能經過定義而被引入元語言中」。[ix] 「在這個構造中，我將不使用任何不能事先被歸約為其他概念的語義概念」。[x] 他希望通過在元語言中構造這個定義，能夠把以前一直含混不清的「真理」或「真語句」概念「歸約為純粹的邏輯概念、被考察的語言的概念和語言形態學的特殊概念」。[xi] 也就是說，歸約為任何邏輯學家和分析哲學家也都要承認的在邏輯上形式上完全站得住的那些概念，從而證明語義概念可以像那些「分析的」概念一樣毫無矛盾地使用，語義學可以成為語言形態學（the morphology of language）的一部分。
對於真理定義的另一個條件是要求它是「實質上充分的」（materially adequate），，即涉及某個對象語言的所有（T）等式都要作為這個定義的結果而被推衍出。[xii] 在這些出現在元語言中的格式為「X是真的，當且僅當，P」的（T）等式中，「P」代表對像語言中任何一個已被翻譯到元語言中的語句，「X」則代表這個語句的名稱。
為什麼要提出這個條件呢？首先，既然這個定義要把語義概念歸約為非語義概念，那麼就必須在語義概念可能出現的一切場合都有辦法把包含這類概念的語句置換為不包含語義概念的語句，即窮盡被定義概念（如「真」、「滿足」）的一切可能的情況。其次，是為了回答演繹科學特別是證明論中提出來的「可證性」與「真理性」的關係以及「排中律」是否成立等問題。一般人的直覺很容易接受這樣一個古典排中律式的看法：任何一句話或者說一個判斷不是真的就是假的（即它的否定是真的）。且不管所謂「形而上學」，就是在數學中也有一些命題或判斷的本身被證明是無解的，而且「說謊者悖論」一類的命題對這種信念更是嚴重的威脅。於是實證主義者和有窮主義者出來說：根本不存在這類柏拉圖式的從本體論上就保證了的理念的「真」，或者更進一步，也根本不存在康德式的從認識論上被保證了的有先天綜合能力的範疇的「真」或感性直觀的純形式的「真」，而只有所謂「證實的真」或「分析的真」。這種傾向由於數學基礎中悖論的發現而得到加強並在直觀主義[xiii] 學派的有窮主義中達到極點；他們認為真正的數學命題只存在於有窮構造中，因而拒絕使用涉及到「實無窮」的排中律。他們這種看法得到F.考夫曼和維特根斯坦等人的贊同，希爾伯特雖然出於保護一大批數學成果的目的反對直觀主義排斥排中律的主張，但在很大程度上也受到悖論的發現和這種從某一方面看來很合理的主張的影響，在他提出的「方案」中也要把涉及實無窮的數學系統的相容性歸約為只涉及有窮構造的數學系統的相容性。卡爾納普在《語言的邏輯句法》中所持有「算法論」（句法論）基本上也屬於這種觀點。然而，奇怪的是哥德爾、塔斯基等人卻發現了有些形式化命題不可證或在有窮步內不可證但明明白白是個真命題。怎樣解釋這種「真」與「可證明」的複雜關係呢？哥德爾寧願做柏拉圖式的「客觀真理」的解釋，塔斯基則顯然認為對於形式化語言中的真理問題，做柏拉圖式的解釋是太寬了，做出了過多的本體論的承諾，而做有窮主義的或證明論式的解釋又過窄了，沒有把一切真命題都包括進來。他的真理定義的一個目標就是要使這個定義包括所有那些演繹科學中從形式上、邏輯語義上或用中世紀的邏輯術語，從「實質指謂」（suppositio materialis）上可以判定其為真的命題，而且只包含這類命題；因此，他稱這個條件為「實質上充分的」（或譯為「確切的」、「適當的」）。
3.定義的構造
一個語言系統可以包括無窮多個語句，為了使「實質充分」的條件得以實現，就必須提供一個方法使得我們可以從簡單的有限的語句構造出無窮多個語句。但塔斯基發現：從那些帶量詞的形式化語言的形式構造的角度看來，復合語句一般不是由簡單語句（不包含自由變項的語句函項）復合而成，而是由簡單的語句函項（其中包含自由變項）復合而成。[xiv] 比如在塔斯基用來作為構造真理定義的一個具體例子的類演算（the calculus of classes）中，某一個復合語句如∩1(i1,1+∩1∪2i2,1)（意思是「對於任何類a，aIa；或者有一個類b，使得bIa」）並不是由「∩1i1,1」和「∩1∪2i2,1」通過析取（+）構成，而是由語句函項「i1,1」和簡單語句「∩1∪2i2,1」的析取再加上全稱量詞「∩1」而構成。因此，我們只有先定義簡單的語句函項和由簡單語句函項構造復合語句函項的運算，然後將語句作為語句函項的極端情況，即其中不帶自由變項的語句函項處理。塔斯基用遞歸方法定義了語句函項，即先定義（描述）最簡單結構的語句函項（比如ik,l，意思為「類a被包含於類b」；k和l的值是自然數，代表類變項），然後定義從較簡單的語句函項構造出復合語句函項所憑借的運算，比如否定、析取、加量詞。但是，一個語句函項無所謂真假，比如我們不能說「X+3=5」是真或是假，而只能講它能被什麼對像所滿足，例如「2」。因此，「某個語句函項被某些對像滿足」的概念就作為第一個語義概念、即涉及到表達式與其對象的關係的概念而被引入，定義這個概念成為塔斯基工作中幾乎是最重要的一環。
（這裡要提醒一下：對於「滿足」和其後「真理」的定義是在元語言中給出的，因此下面提到的對象語言的各種表達式都已被翻譯成元語言了。）
出於技術性的考慮，[xv] 塔斯基實際上用的是「某個語句函項被對象的某個無限序列所滿足」的概念。為了使定義明晰，塔斯基將對像語言的所有變項都用自然數加上了附標，因此一個語句函項中的自由變項和約束變項都是帶有附標的，比如類演算中的語句函項∩2i1,2；對象的一個無限序列就是該語言所涉及的對象按附標大小順序排列而成，比如由類演算中所有的類按附標排列成一個無限序列。一個語句函項x能否被對象的一個無限序列f所滿足，取決於與x中自由變項vi相應（即有同樣附標）的對象序列中的項fi。如果按照定義fi滿足vi，那麼這個對象的無限序列也就滿足該語句函項。[xvi]
塔斯基還是用遞歸方法來定義「滿足」：
定義22：序列f滿足語句函項x，當且僅當，f是類的一個無限序列並且x是一個語句函項，而且它們滿足下面四個條件之一：（1）有自然數k和ι使得x=ik,l並且fkI fl; (2)有一個語句函項y使得x=y並且f不滿足函項y；（3）有語句函項y和z使得x=y+z並且f或者滿足y或者滿足z；（4）有一個自然數k和一個語句函項y使得x=∩ky並且每個與f至多在第k處不同的類的無限序列都滿足函項y。[xvii]
（說明：在塔斯基所使用的類演算的元語言中，「i」的意思為「被包含於」；「y」的意思為「非y」；「y+z」的意思為「y或z」；「∩ky」的意思為「對於所有vk（附標為k的那個變項），表達式y都成立」；「∪ky」的意思是：「有一個vk使得表達式y成立」。）
按照這個定義，我們可以把「某個語句函項被對象的某個無限序列所滿足」這樣一個語義概念的每一個例子都還原為或歸約為對像語言的某些表達式及其關係，因而滿足了「形式上正確、實質上充分」的條件。比如：類的無限序列f滿足語句函項i1，2當且僅當f1I f2；滿足語句函項i2,3+i3,2當且僅當f2≠ f3；滿足語句函項∩2i1,2當且僅當f1是空類；滿足語句函項∩2i2,3當且僅當f3是滿類。並且，我們可以利用條件（4）提供的加全稱量詞的運算而由語句函項構成語句，即對語句函項中出現的每個自由變項都加以約束。因此，我們可以直接用「滿足」概念來定義「真語句」。
從條件（4）可以看出，一個約束變項要麼就被所有的對象序列滿足，要麼就不被任何對像序列滿足。而一個語句中只包含有約束變項，所以，塔斯基給出了這樣一個類演算中的真語句的定義：
定義23：x是一個真語句——符號表示為xITr——當且僅當x是一個語句並且類的每一個無限序列都滿足x。[xviii]
塔斯基接著證明了，只要元語言比對像語言在本質上更豐富，按照這樣一個程序來構造一個關於對像語言的形式上正確實質上充分的定義總是可能的。在1944年發表的《真理的語義學概念及語義學基礎》中，他更簡明地概括了這個定義：「一個語句如果被所有的對象滿足就是真的，否則就是假的。」[xix]
4.這個定義的特點
首先，作為上面講到的「滿足」概念的一種極端情況，即被所有的對象序列滿足或不滿足，這個真語句的定義同樣是「形式上正確和實質上充分」的。也就是說，通過這個定義，我們可以把「某某語句是真的」這樣一個包含語義學中「真」的概念的陳述歸約為[翻譯為]由其意義是完全清楚明確的概念構成的陳述，即歸約為不包含任何[明顯的]語義概念的對象語言的表達式及其關係，而且從理論上講在一切場合都可以進行這種歸約，因此我們可以通過這個定義得到或推論出涉及對像語言每一個語句的所有（T）等式。這就表明，你對於對像語言的瞭解程度與你對於涉及這個語言的語義真理的瞭解程度從邏輯上是等價的。如果你理解了對象語言並能使用它，你也就理解了關於這個語言的真理性並能使用「某某語句是真的」這樣一類陳述；如果你還不理解對像語言但可以分辨它的符號，你也可以在元語言的（T）等式中給出它的真值條件。
這裡需要澄清一個問題，即不能把（T）等式誤認為塔斯基給出的定義本身。通過上面的敘述已很清楚，（T）等式只是這個定義所產生的結果，每一個具體的（T）等式只是一個對於「真」的片斷定義，它們的全體或邏輯合取才與上面那個「定義23」等值或外延相同。
這樣，我們就可以得出這個定義的第二個特點，即每一個語句的真值是與整個語言系統的構造方式密切相關的。一個語句是真的，當且僅當它能被所有對象滿足。「雪是白的」這句話的真值並不像經驗主義所說是依賴於經驗中的「雪」和「白」或者某個孤立的「事件」，那樣的「雪」和「白」是主觀的、無法傳達的和死無對證的。可以想見，一個沒有語言思維結構或概念結構的人或生命，無認論經驗多少次「雪」，也不會懂得「雪是白的」，更無從談其真假。有人曾把（T）等式理解為「『雪是白的』是真的，當且僅當，雪事實上是白的。」塔斯基堅決地糾正了這一似是而非的錯誤看法，指出某個（T）等式並沒有提供斷定任何特定語句尤其是經驗語句的充要條件，因此與所謂「經驗證實」無關。它告訴我們的是「『雪是白的』是真的」與「雪是白的」這樣兩個語句在邏輯上是等價的。[xx] 「雪是白的」這句話真正的邏輯形式是：「對於一切事物而言，如果它是雪，則它是白的。」這一點在形式化語言中更為明顯；一個語句是否被所有對象滿足，在還沒有追究整個語言系統的真理性之前，完全取決於它在某個語言系統中所處的位置，即這個語言的構造方式給予它的結構特點。因此，一個語言系統中的一切語句儘管在形式上不同，但卻可以按照這個真理定義區分為真假兩類。一切真語句都被所有的對象滿足從而構成 一個嚴格的真語句類或真語句的集合。
這個定義的第三個特點是在元語言中利用了更強的邏輯手段。塔斯基用「滿足」概念定義「真」，而對「滿足」這個概念使用了遞歸定義，這種定義方式在對像語言中是不允許的。塔斯基同時申明，不使用遞歸定義而使用正常的定義也是可以的，但這樣就必須在定義項中引入更高邏輯類型的變項。[xxi]
有必要說明一下：這樣一個對於真語句的語義定義與對於真語句的結構定義（structural definition）是不同的。所謂真語句的結構定義就是指給出一個可行的「判定方法」，依據這個方法，我們可以判定某個語言中的每一個語句到底是真還是假（但這種判定也可能涉及無窮多步），而不僅僅是給出它們的真值條件，因此這是一個更具體的定義。而且在建立這樣一個定義的時候，不需要利用更高邏輯類型的變項。比如在命題演算中可以給出這樣一個結構定義，利用真值表我們可以將它變為一個外延相同的語義定義。[xxii] 塔斯基在《形式化語言中的真理概念》中也給出了一個類演算的真語句的結構定義，不過又附加了一些公理。但是，在大多數人們感興趣的形式化語言中（包括狹謂詞演算），是無法給出這樣一個定義的，而語義定義則在任何一個本質上比對像語言更豐富的元語言中都可以做出。
因此，我們可以說塔斯基這個定義的第四個特點是它具有普遍性。
三.這個定義的意義
塔斯基給出的這個形式化語言中的真理定義對於邏輯、數學、語言哲學、科學哲學（比如波普的學說）、語言學以及心理學、社會學、文化學、人工智能等方面都產生了深遠的影響，有些問題（例如真理與意義的關係）至今仍在被熱烈地討論。這裡只就兩個方面簡單地談幾點看法。
1.它對於演繹科學的意義
如果借用控制論的一個術語，我們可以說，塔斯基建立的語義元語言和真理定義為演繹科學提供了更有效的反饋機制；通過這個機制的活動，演繹科學在某種意義上成為可以控制和認識自己、適應對像環境的主體。關於演繹科學的對象的看法（往往體現在研究方法中），可以大致分為三個層次：以經驗的對象為對象，比如穆勒；沒有可表達的對象，如各種形式主義；以自身及其活動為對象，比如塔斯基和哥德爾。
在塔斯基這裡，演繹科學作為「對像語言」得到了周密的整體性的研究。他構造的真理定義第一次精確而且充分地刻劃了「真語句」的語義特性，因此唯一地決定了被定義語言中真語句的外延。雖然從語法或狹隘的經驗的角度看來，它對於判定語句本身的真假並不總是能行的，因而從某種意義上說來它嚴格而且充分地規定的對象語言的真語句的類只是一種虛類或潛類；有人甚至因此而認為這個定義包含了形而上學的因素或帶有嚴重的哲學暗含。[xxiii] 但是，正如無理數或虛數引入數學曾使得數學所能處理的對象有了革命性的擴充，使得數學有了更強和更一致地描述客觀世界複雜現象的能力，並解除了畢達哥拉斯學派所曾有過的那類困惑，塔斯基在形式化語言中引入的真理定義也使我們可以在某種程度上克服只涉及語言表達式形式的語法的局限性，捕捉到語言表達式與其對像之間的某種普遍的和客觀的關係——語句被所有對象滿足的「真的」關係。這就使得我們對於作為一個整體的對象語言的最重要的一些特性（比如「一致性」、「完全性」等等）有了嚴格的實質性的把握，並因此得以超越某一個語言系統的局限，在不同的表達形式和直觀內容的語言之間建立起更深刻的聯繫和通約，為語義的「真理」概念找到了更客觀更逼近現實世界的基礎（比如「模型」理論），具有了回答在語法或經驗範圍內無法回答的問題和表現更複雜豐富的邏輯關係的能力，填補了演繹科學方法論中的某些空白。
(1)從語義角度證明矛盾律與排中律
由於塔斯基的真理定義確切地決定了一個語言系統中所有真語句的類（Tr），並且由於任何一個語句要麼被所有對象滿足而真，要麼不被任何對像滿足而假，所以對任何一個語句x而言，或者xITr,或者xITr（矛盾律）而且，或者xITr，或者xITr（排中律）。[xxiv] 根據推論的定義，還可以證明從真語句只能推論出真語句。因此真語句的類是一個一致的而且完全的演繹系統。這就證明了被直觀主義排斥的「排中律「至少在可以定義語義真的語言中是成立的，因而保證了數學中這個強有力的推理依據的合理性，悖論的出現不能歸罪於排中律。
(2)區別了「真」與「可證明」
按照這個定義，如果一個形式化公理系統的公理都是真語句，那麼從公理推出的定理（可證明句）也就都是真語句，因此可證明這個系統是一致的或協調的。但是，除了那些具有很基本的邏輯結構的演繹系統（如命題演算和狹謂詞的演算）外，在相當大一類的數學學科的形式化語言中，並非所有的真語句都是定理或可證句。塔斯基在類演算中找到了一個句子，它和它的否定在類演算中都不可證。當然，這方面最著名的例子是哥德爾的不完全性定理。哥德爾通過他創造的配數法就能將符合有窮觀點的元數學中的語法算術化，按照塔斯基的語義學的講法，就是使元語言在對像語言中得到了解釋，元語言並不比對像語言從本質上更豐富。這樣的話，就總有可能在可以包括初等數論的形式系統P中能行地構造出一個自指的命題A，用普通語言表示就是：
A：A在P中不可證。
它和它的否定在P中都不可證。因此系統P是不完全的，或者是說在這樣的元語言中不能給出一個實質上充分的真語句的定義，因為那樣就會把說謊者悖論式的語句也包括進來。但是，如果元語言比對像語言從本質上更豐富，那麼在對像語言P中的非決定句A就可以在元語言中被判定為是一個真語句（並不構成悖論）。[xxv] 因此塔斯基說：「……真理理論如此直接地導致了哥德爾的定理……，哥德爾在他的證明中顯然受到了關於真理概念的某種直覺考慮的引導，雖然這個概念沒有明確地出現在證明中。」[xxvi]
所以，在本質上更豐富的元語言中定義的「真」的概念就要比只使用對像語言中的邏輯手段就可精確定義的「證明」的概念在外延上更廣，也就說，所有的可證句都是真語句，但有的真語句不是可證句；一致性可以用真理性來說明，但真理性不能只用一致性來說明。這個事實表明了語言系統中形式推理的局限性，同時表明了塔斯基的真理定義具有更深刻的構造能力，它對於解決形式系統的一些重要問題以及克服數學基礎研究中的形式主義傾向具有重要意義。
(3)導致「模型」「推論」等概念的建立
塔斯基通過這個定義建立了形式化語言中的語義學方法，「通過使用語義學方法，我們能夠確切地定義一些到目前為止只以直覺方式而被使用的重要的元數學概念——例如可定義性的概念或一個公理系統的模型的概念；並因此使我們能夠對這些概念進行系統的研究。」[xxvii] 為了確切地回答本文一開始敘述的不同演繹系統（比如歐氏幾何與非歐幾何）之間具有真值聯繫的問題，一些邏輯學家曾力圖以嚴格的方式定義「推論」（consequence），它的外延和內涵都要比「推導」（derivation）這個概念更豐富，後者只能說明「可證明」概念，但不能充分地說明「真理」（或真值）的概念。卡爾納普在這方面做了很多工作，但由於他囿於語法範圍，因而所給出的定義對於那些包含較多的非邏輯常項（extra-logical constants）的形式化語言就不適用，因而是實質上不充分的。塔斯基在定義「推論」時引入了語義學方法，運用已精確定義了的語義概念「滿足」和「真」正確而且充分地定義了「模型」、「推論」這樣一些在演繹科學中極重要的方法論概念。[xxviii]
科學的模型概念和推論概念準確而且充分地說明了表達形式和直觀內容不同的演繹系統之間邏輯上或語義上的聯繫，使得我們進一步擺脫了某一個語言的形式的局限，得以在更抽像也更客觀和完整的意義上來對比和把握這些語言系統的特性，而且這些用語義學方法定義的概念比單純的語法概念更逼近人們具體的和創造性的思維和推理過程。
2.它對於語言哲學的意義
（1） 導致了理論語義學的建立
從前面的簡單介紹中可看出：塔斯基在定義語義真的過程中，建立了一整套在形式化語言中科學地定義語義概念的方法，即對像語言與更豐富的元語言的區分和形式化公理化，建立（T）等式的格式，（往往遞歸地）定義語句函項，定義語句函項被一對象的無限序列所滿足；然後利用已被定義的「滿足」或其他語義概念來定義所需要的語義概念，比如「真『、」指稱「、」推衍「、」定義』、「模型」等等。其中最重要的思想就是，為了正確地使用和理解語言，必須區別語言的不同層次。為此，塔斯基在胡塞爾和涅斯烏斯基的工作的基礎上建立了語義範疇的階（the order of the category）和語義類型（semantical type）的概念，[xxix] 將語言從語義上分為層次；而正確和充分地定義語義概念的充要條件就是構造定義的元語言要比對像語言有更高階的語義範疇。如果滿足以上條件，就不會發生悖論。這也表明了悖論產生的根源並不[一定]是命題的自指或涉及到無窮，而[可以]是由於語義層次或範疇的混亂。因此，我們可以說塔斯基的真理定義從語義角度比羅素的邏輯類型論更自然而且更富有成果地解決了防止悖論的問題，導致了理論語義學的建立，為研究語言系統的特性提供了又一種有力的新工具。
（2） 糾正了早期的邏輯經驗主義的某些錯誤論點
從前文（二·4）可看出，塔斯基的定義以極其嚴格的方式反駁了邏輯經驗主義關於一切有意義命題的二分法，即重言式意義上的分析命題與要求經驗證實的綜合命題的二分法。塔斯基和哥德爾的工作表明，分析命題決不止是重言式或句法命題，比如哥德爾不完性定理中的命題A，利用真值表或只限於句法範圍，都無法解釋其真理性。[xxx] 這個定義還表明，「分析命題」的真理性要涉及到「對像」（當然不只是主觀狹隘的經驗對像），因此這類命題具有自己的內容和意義，相對於一個個具體語言系統有自己的特殊性和局限性。沒有哪一種語言可以當作統一所有科學的代表絕對真理的語言。另外，這些分析命題的真假還與整個表達系統的結構特點和對像密不可分，而所有經驗命題都必須利用這種不完全透明的形式系統來構造自己和表達意義，因此也就根本不存在完全獨立於表達介質的「原子經驗命題」。而且，正是由於任何語句的意義或成真條件是涉及整個系統的構造特點並因而具有系統內或系統際（通過「模型」）的客觀性，利用語言可以進行有效交流的事實才得到了一個起碼在形式上站得住的解釋。
由於塔斯基這項工作完成的如此明確和富於成果，邏輯經驗主義中對同一些問題一直有所考慮的比較敏銳的人物（比如卡爾納普）很快就以適合自己的方式接受了它，修改了自己的理論。當然，這場關係到經驗主義原則的多米諾骨牌的遊戲並沒有結束。
（3） 刺激了對各種語言的語義問題的研究
塔斯基的真理定義給人印象很深的一點就是他幾乎是在語言的真空狀態或失重狀態的形式化的實驗站裡找到了某種意義單位的分子式或基因鏈，即能使意義「出現」的幾乎是最低限的形式條件；用他的話來講就是「形式化語言在語義學中的作用可以粗略地相比於孤立繫在物理學中的作用。」[xxxi] 如同自然科學實驗室中的任何一項卓越成就都有助於人們理解深奧的大自然一樣，人們期望塔斯基的定義和理論語義學也可以給予各種語言的意義研究以一種全新的系統的工具或者說是一個敏感的神經系統，充當意義、思想與具體語言之間的浮橋。
1967年，美國芝加哥大學的戴維森（Donald Davidson）在一篇名為「真理和意義」（「Truth and Meaning」）的文章中運用塔斯基對於真理定義的成果和方法來解決語言的意義問題。一般人都認為懂一個語言的語句的意義要比知道它們的真值條件更複雜，但戴維森貫徹了弗雷格「語句的意義在於其真值條件」的原則，認為兩者形式相似，意義問題並不比真理問題更複雜。[xxxii] 而且，他首先將塔斯基的方法引入了關於自然語言的意義理論的研究中，提出了一些特殊的真理理論。[xxxiii]
當然，對於戴維森的工作也有不同意見。比如杜米特（M. Dummett）認為戴維森關於意義的真值條件理論中包含有「形而上學的內容」，不能充分地說明人們對於自己語言的「可證明的理解」。菲爾德（H. Field）在《塔斯基的真理理論》一文中則認為塔斯基實際上並不是如他說的將真理概念歸約為了非語義概念，而是將真理概念歸約為了其他較簡單的語義概念（如「翻譯」）。菲爾德自己提出了一個以「原始指示」這樣一個語義概念來定義「真」的仿塔斯基的真理理論T1，並且認為T1比實際的塔斯的真理理論T2更優越，因為它不但具有T2的所有功能，而且由於它免除了必須能將語義概念歸約為非語義概念的要求，因而可以適用於不精確的或不能充分翻譯的語言以及歷時語言學。菲爾德認為塔斯基的理論對於數學、語言學、哲學具有極其重要的意義，而且通過他的這一番去偽存真的工作可以使這些意義更加被人承認和發揚光大。[xxxiv]
我們可以說，塔斯基的真理理論目前在西方的語言哲學中扮演了一個重要角色，其影響和意義還是難以估定的。
註釋:
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[1] 此文發表於1986年出版的《外國哲學》第8輯（商務印書館）。
[i] A. 塔斯基(Tarski)：「真理的語義學概念及語義學基礎」(「The Semantic Conception of Truth」)，載《哲學分析讀物》(Readings in Philosophical Analysis)，H. Feigl and W. Sellars 選編, New York: Appleton, 1949年，第59頁。
[ii] 參見王憲鈞：《數理邏輯引論》，北京大學出版社1982年版，第三篇。
[iii] 按照邏輯主義的數學觀，數學可還原為邏輯。這樣，維特根斯坦的邏輯觀就影響了人們對於數學的基礎乃至科學理論命題性質的看法。
[iv] 維特根斯坦：《邏輯哲學論》，4.461。
[v] 塔斯基：《形式化語言中的真理概念》(「The Concept of Truth in Formalized Languages」)，載塔斯基的《邏輯，語義學，元數學》(Logic, Semantics, Metamathematics)論文集，J. H. Woodger英譯, Oxford University Press, 1956年（1983年此書由Hackett公司出了第2版。這版的編輯者是J. Corcoran），第152頁註釋1。
[vi] 塔斯基：「真理的語義學概念及語義學基礎」，《哲學分析讀物》，第53-54頁。此定義見《形而上學》第4卷第7章，1011b27。吳壽彭的譯文是：「凡以不是為是、是為不是者這就是假的，凡以實為實、以假為假者，這就是真的。」見《形而上學》，北京：商務，1981年，79頁。
[vii] 同上書，第62頁。
[viii] R. M. 馬丁(Martin)：《真理與指示：語義學理論研究》，1958年英文版，第63頁。
[ix] 塔斯基：「真理的語義學概念及語義學基礎」，《哲學分析讀物》，第61頁。
[x] 塔斯基：《邏輯，語義學，元數學》，第152、406頁。[以下為1999年重刊時所加。]本文是將塔斯基這句話中的「其他概念」理解為「非語義概念」。根據他文章的上下文，這種理解似乎是唯一合理的。但後來由於某些人（比如本文末提到的菲爾德）的批評，塔斯基似乎在這一點上「含糊」了起來。參見以下注34。
[xi] 同上書，同上頁。
[xii] 同上書，第188頁。
[xiii] 一般譯為「直覺主義」。這一派的代表人的是布勞維爾（L. E. J. Brouwer, 1881-1966），他也受到康德數學觀中直觀性和主觀性一面的影響。
[xiv] 塔斯基：《邏輯，語義學，元數學》，第189頁。
[xv] 同上書，參見第195頁註釋1；及塔斯基：「真理的語義學概念及語義學基礎」，《哲學分析讀物》，第81頁註釋15。
[xvi] 塔斯基：《邏輯，語義學，元數學》，第191頁。
[xvii] 同上書，193頁。此定義的條件4之所以允許任何類的無限序列可以在k處與f不同，是由於全稱量詞∩k 已約束了該處的所有變項。
[xviii] 同上書，第195頁。
[xix] 塔斯基：「真理的語義學概念及語義學基礎」，《哲學分析讀物》，第63頁。
[xx] 同上書，第71頁。
[xxi] 塔斯基：《邏輯，語義學，元數學》，第193頁註釋1。
[xxii] 同上書，第237頁註釋2。
[xxiii] 塔斯基：「真理的語義學概念及語義學基礎」，《哲學分析讀物》，第72、71頁。
[xxiv] 塔斯基：《邏輯，語義學，元數學》，第197頁。
[xxv] 同上書，第276頁。
[xxvi] 塔斯基：「真理的語義學概念及語義學基礎」，《哲學分析讀物》，第81-82頁註釋 18。
[xxvii] 同上書，第78頁。
[xxviii] 塔斯基：「論邏輯推論的概念」，載《邏輯，語義學，元數學》，第415-417頁。
[xxix] 具體的定義及修正意見見塔斯基：《邏輯，語義學，元數學》，第218-219、268頁。
[xxx] 關於塔斯基對卡爾納普從句法上定義「推論」的批評，參見塔斯基《邏輯，語義學，元數學》，第416頁。
[xxxi] 塔斯基：「真理的語義學概念及語義學基礎」，《哲學分析讀物》，第75頁。
[xxxii] 參見周柏喬：《介紹當前分析哲學的主要課題和方法》，載《現代外國哲學論集》第2集，第240頁。戴維森的文章見於該作者的論文集《對於真理與解釋的探討》（Inquiries into Truth & Interpretation），Oxford: Clarendon Press, 1984, 17-36頁。
[xxxiii] 馬克·普拉茲編：《指謂、真理與實在——語言哲學論文集》，1980年英文版，第1頁。
[xxxiv] 同上書，第83-107頁。[以下為1999年重刊時所加。] 當本文作者九十年代初在美國上塔斯基《邏輯，語義學，元數學》一書第2版的編輯者J. Corcoran教授（他與塔斯基有過較密切的學術交往，並且「崇拜」塔斯基）的邏輯課時，曾提出菲爾德的這個批評（即塔斯基的定義並沒有完全將「真」歸約為非語義概念）請他評議，他的反應是：塔斯基從來沒有說過自己已將「真」這樣的語義學概念完全歸約為了非語義概念。參見上面的註釋10。
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